MAT 468E - Nonlineer Dalgalar

Dersin Amaçları

Dersin amacı, mühendislikte ve bilimin diğer alanlarında önemli rol oynayan, lineer olmayan dalgalar, bu dalgaların yayılımını yöneten denklemler, özellikle Korteweg-de Vries (KdV) denklemi, ve çözümleri hakkında öğrenciye bilgi vermektir.
Bununla ilgili olarak,

1. Lineer dalga denklemleri, disipatif dalga ve dispersiyon konusunda bilgi vermek,
2. Lineer olmayan dalga denklemi ve çözümlerin çok değerliliği hakkında bilgilendirmek,
3. KdV denkleminin elemanter çözümleri ve çözümlerin davranışının nasıl olduğunu öğretmek,
4. Saçılma ve ters saçılma problemlerini öğrenciye tanıtmak,
5. KdV için başlangıç değer probleminin çözümlerini inşaa ederek yanlız dalga ve iki soliton çözümleri hakkında fikir vermek,
6. Lax formülasyonunu, Hirota metodunu ve Backlund dönüşümünü öğrenciye tanıtmak,
7. Yanlız dalga ve soliton çözümlerine izin veren lineer olmayan evrim denklemleri çözmek için gereken sayısal metodlar hakkında bilgi vermek

Dersin Tanımı

Korteweg-de Vries Denklemi; lineer dalga denklemi, çözümlerin süperpozisyonu. Lineer dispersif dalga denklemi, dispersiyon. En basit lineer olmayan dalga denklemi, çözümlerin çokdeğerliliği. Nonlineerlik ve dispersiyon arasındaki denge, KdV denklemi.
KdV Denkleminin Elemanter Çözümleri; KdV denkleminin gezen dalga çözümlerinin kalitatif davranışları, çözümlerin Jakobi eliptik fonksiyonlarla ifadesi. Çözümlerin limit davranışları, yalnız dalga çözümleri.
Saçılma ve Ters Saçılma Problemleri; saçılma problemi, ters saçılma problemi, Marchenko denkleminin çözümü.

KdV için Başlangıç-Değer Problemi; çözümün inşası, yalnız dalga ve iki soliton çözümleri.
KdV Denkleminin Bazı Özellikleri; korunum yasaları, KdV denklemi için Lax formülasyonu. Hirota metodu, KdV denkleminin bilineer formu. KdV denklemi için Backlund dönüşümü. Painleve Özelliği ve Sayısal Çözümler; KdV denkleminin Painleve özelliği. KdV denkleminin soliton çözümlerinin sayısal olarak incelenmesi.