MAT 272E - İleri Matematik

Dersin Amaçları

Öğrenciye Matematiksel Analiz’in teknik ve yöntemlerini öğretmek ve öğrencinin bu yöntemlerde belirli bir seviyede yeterliğe ulaşmasını sağlamak.
Öğrencilere daha önce öğrendikleri temel analiz kavramlarını titiz bir matematiksel kesinlikle uygulamayı öğretmek.

Dersin Tanımı

Reel Sayı Dizileri ve Serileri ve Yakınsaklık. Sonlu Boyutlu Vektör Uzayları. Young, Hölder ve Minkowski Eşitsizlikleri. Metrik Uzayları. Metrik Uzaylarında Diziler. Yakınsaklık ve Sınırlılık. Cauchy Dizileri ve Tam Uzaylar. Metrik Uzaylarının Topolojisi: Açık ve Kapalı Kümeler. Tıkızlık. Heine-Borel Teoremi. Metrik Uzaylar Üzerindeki Sürekli Reel Fonksiyonlar ve Üzerlerindeki Metrik Yapıları. Süreklilik ve Düzgün Süreklilik. Lipschitz Sürekliliği. Türevler. C^k[a,b] ve ell^p Normlu Uzayları. Metrik Uzaylarda Fonksiyon Dizi ve Serileri. Noktasal ve Düzgün Yakınsama. Düzgün Yakınsama için Cauchy Kriteri. Weierstrass’ın M-testi. Stone-Weierstrass Teoremi. Hilbert Uzayları.
Sequences and Series of Real Numbers and Convergence. Finite Dimensional Real Vector Spaces. Young’s, Hölder’s and Minkowski’s Inequalities. Metric Spaces. Sequences in Metric Spaces. Convergence and Boundedness. Cauchy Sequences and Completeness. Topology of Metric Spaces: Open and Closed Sets. Compactness. Heine-Borel Theorem. Real Valued Continuous Functions on Metric Spaces and Their Metric Structure. Continuity and Uniform Continuity. Lipschitz Continuity. Total Derivative. C^k[a,b] and ell^p spaces. Sequences and Series of Real Valued Functions on Metric Spaces. Pointwise and Uniform Convergence. Cauchy Criterion for Uniform Convergence. Weierstrass M-test. The Stone-Weierstrass Theorem. Hilbert Spaces.